Question

15．在RT△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心，r為半徑，若要使⊙C與邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是r=$\frac{24}{5}$或6＜r≤8．

Answer 1

分析 因為要使圓與斜邊只有一個公共點，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個交點在斜邊上．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．

解答 解：如圖，∵斜邊AB=10，直角邊AC=8，
∴BC=$\sqrt{{10}^{2}-{8}^{2}}$=6．
當圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高，r=CD=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$；
當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6＜r≤8．
故答案為：r=$\frac{24}{5}$或6＜r≤8．

點評 本題考查的是直線與圓的位置關系，在解答此題時要注意分兩種情況進行討論，不要漏解．