Question

已知正方形的內切圓O半徑為2，如圖，正方形的四個角上分別有一個直角三角形，如果直角三角形的第三邊與圓O相切且平行于對角線．則陰影部分的面積為（　�。�

• A、32

  2

  -32-4π
• B、

  2

• C、1
• D、16-4π

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：連接OA、OB，作BI⊥OA于點I，作OM⊥AB于點M，求得△AOB的面積，則正八邊形的面積即可求得，然后減去圓的面積即可求解．

解答：解：連接OA、OB，作BI⊥OA于點I，作OM⊥AB于點M．
則∠AOB=

360°

8

=45°，∠AOM=

1

2

∠AOB=22.5°．
∵在直角△AOM中，cos∠AOM=

OM

OA

，
∴OA=

OM

cos∠AOM

=

2

cos22.5°

=

2(4+2 2 )

2 +1

=4

2

-8．
則BI=（4

2

+8）•tan∠AOB=2tan45°=（8-4

2

）×

2

2

=4

2

-4，
則S_△AOB=

1

2

OA•BI=

1

2

×2×（4

2

-4）=4

2

-4，
則八邊形ABCDEFGH的面積是8（4

2

-4）=32

2

-32．
⊙O的面積是：4π，
則陰影部分的面積為：32

2

-32-4π．
故選A．

點評：本題考查了正多邊形的計算，正確求得△AOB的面積是解決本題的關鍵．