Question

如圖，P是等邊△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BP′．
（1）請(qǐng)連結(jié)AP，求證：△ABP≌△CBP′；
（2）已知∠AP′B=150°，若連結(jié)P′P，判斷△APP′的形狀；
（3）在（2）的條件下，若P′A=2，P′C=3，求PB與P′A的比值是多少．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PBA=∠CBP′，進(jìn)而利用SAS得出全等三角形即可；
（2）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠PP′B=60°，進(jìn)而求出∠AP′P=90°，即可得出答案；
（3）利用（1）（2）中所求，利用勾股定理得出PP′即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖，連接AP，
∵P是等邊△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BP′，
∴AB=BC，∠PBP′=∠ABC=60°，
∴∠PBA=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，

PB=P′B ∠PBA=∠P′BC AB=BC

，
∴△ABP≌△CBP′（SAS）；

（2）解：連接PP′，
∵PB=P′B，∠PBP′=60°，
∴△PBP′是等邊三角形，
∴∠PP′B=60°，
∵∠AP′B=150°，
∴∠AP′P=90°，
∴△APP′是直角三角形；

（3）解：∵△PBP′是等邊三角形，
∴PP′=PB=P′B，
∵△ABP≌△CBP′，
∴AP=P′C=3，
在Rt△AP′P中
PP′=

AP2-P′A2

=

32-22

=

5

，
∴PB=

5

，
∴PB與P′A的比值是：

5

：2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角以及對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．