Question

（12分）已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點、,垂足為.
(1)如圖10-1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；
(2)如圖10-2,動點、分別從、兩點同時出發(fā),沿和各邊勻速運動一周.即點自→→→停止,點自→→→停止.在運動過程中,
①已知點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒,當、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值.
②若點、的運動路程分別為、(單位:,),已知、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.

Answer 1

(1)證明:①∵四邊形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足為
∴
∴≌
∴
∴四邊形為平行四邊形
又∵
∴四邊形為菱形
②設菱形的邊長,則
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①顯然當點在上時,點在上,此時、、、四點不可能構(gòu)成平行四邊形;同理點在上時,點在或上,也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當點在上、點在上時,才能構(gòu)成平行四邊形
∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,
∵點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒
∴,
∴,解得
∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.

②由題意得,以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,點、在互相平行的對應邊上.
分三種情況:
i)如圖1,當點在上、點在上時,,即,得
ii)如圖2,當點在上、點在上時,, 即,得解析