Question

如圖，如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．若KG²=KD•GE，sinE=

3

5

，AK=2

5

，F(xiàn)G長度是（　�。�

• A．

  25 2

  8

• B．

  25 2

  4

• C．

  5 2

  8

• D．

  25 2

  2

Answer 1

分析：如答圖1，連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據(jù)等角對等邊得到KE=GE；如答圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG²=KD•GE，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；
如答圖3所示，連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．

解答：解：（1）如答圖1，連接OG．
∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
連接GD，如答圖2所示．
∵KG²=KD•GE，即

KG

GE

=

KD

KG

，
又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
連接OG，OC，如答圖3所示．
sinE=sin∠ACH=

3

5

，設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，解得t=

2

．
設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=

25 2

6

．
∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

25 2

6

，tan∠OFG=tan∠CAH=

CH

AH

=

4

3

，
∴FG=

OG

tan∠OFG

=

25 2 6

4 3

=

25 2

8

．
故選A．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關鍵．