Question

9．如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若點M、N是邊AD上的兩點，連接MO，NO，并分別延長與邊BC相交于點M′，N′．
（1）求證：MN=M′N′；
（2）在不添加其他輔助線的情況下，直接寫出圖中的所有的全等三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OM=OM′，MN=M′N′；
（2）根據(jù)全等三角形的判定定理可以判斷△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′．由此即可得出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠M′BO}\\{∠MOD=∠M′OB}\\{DM=BM′}\end{array}\right.$，
∴△MDO≌△M′BO，
∴OM=OM′，
∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BM′O，
在△MON與△M′ON′中$\left\{\begin{array}{l}{∠NMO=∠N′M′O}\\{OM=OM′}\\{∠MON=∠M′ON′}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△M′ON′，
∴MN=M′N′；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠M′BO}\\{∠MOD=∠M′OB}\\{DM=BM′}\end{array}\right.$，
∴△MDO≌△M′BO，
∴OM=OM′，
∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BM′O，
在△MON與△M′ON′中$\left\{\begin{array}{l}{∠NMO=∠N′M′O}\\{OM=OM′}\\{∠MON=∠M′ON′}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△M′ON′，
∴MN=M′N′；
同理△NOD≌△N′OB，
在△ABD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCD，
∴全等三角形一共有△MDO≌△M′BO，△MON≌△M′ON′，△NOD≌△N′OB，△ABD≌△BCD4對．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．