Question

如圖，將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，若AD=4，DB=8，則BC的長是

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

BC

=

BDC

，再根據(jù)在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等可得∠BAC=∠BCD+∠CBD，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADC=∠BCD+∠CBD，從而得到∠BAC=∠ADC，根據(jù)等角對等邊可得AC=CD，過點C作CE⊥AD于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=DE=

1

2

AD，然后利用△ACE和△CBE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：∵弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，
∴

BC

=

BDC

，
∴∠BAC=∠BCD+∠CBD，
在△BCD中，∠ADC=∠BCD+∠CBD，
∴∠BAC=∠ADC，
∴AC=CD，
過點C作CE⊥AD于E，
則AE=DE=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴BE=BD+DE=8+2=10，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠CAE=180°-90°=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE=

AE•BE

=

2×10

=2

5

，
在Rt△BCE中，BC=

CE2+BE2

=

(2 5 )2+102

=

120

=2

30

．
故答案為：2

30

．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于求出AC=CD．