Question

如圖，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)以cm/s勻速向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)以2cm/s勻速向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止．

（1）求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需要的時(shí)間t；
（2）試求出當(dāng)t為何值時(shí)△APQ為直角三角形？

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．設(shè)CD=x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=30°，
∴AD=x，AC=2x；
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠B=45°，
∴BD=x；
∵AD+BD=AB，
∴x+x=6，
解得x=3-3，
∴AC=2x=6-6，
∵動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)以cm/s勻速向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需要的時(shí)間t==6-2；

（2）由題意，知AP=t，BQ=2t，
∴AQ=AB-BQ=6-2t．
當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，分兩種情況：
①如果∠APQ=90°，cos30°=，
∴=，
解得t₁=；
②如果∠AQP=90°，cos30°=，
∴=，
解得t₂=．
因?yàn)樗鼈兙�小�?-2，故都成立．
故當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△APQ為直角三角形．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．設(shè)CD=x，則AD=x，AC=2x，BD=x，根據(jù)AD+BD=AB，列出方程，解方程求出x的值，得到AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)時(shí)間=÷速度即可求解；
求得AC=66，故t=6-2 秒
（2）當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①∠APQ=90°；②∠AQP=90°；根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．