Question

已知：邊長為的正三角形內接于⊙O．(1)如圖(a)，若M是⊙O上一點，且tan∠ABM＝，求AM的長，(2)如圖(b)，設P是⊙O上任意一點，P到A、B、C三點的距離分別為x、y、z．求證：(x＋y－z)(y＋z－x)(x＋z－y)＝0．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：(見答圖(a)) 　　作直徑AD交BC于E，分別連結MD、BD． 　　∴∠ADM＝∠ABM， 　　∠AMD＝＝∠ABD． 　　∴tan∠ADM＝＝tan∠ABM＝． 　　∵△ABC是正三角形，且邊長為， 　　∴AB＝AC＝，∠BAC＝． 　　∴＝． 　　∴AD⊥BC．∴∠1＝∠BAC＝． 　　∴AD＝＝＝2． 　　設AM＝x，則MD＝3x． 　　∵AD2＝MD2＋AM2， 　　∴22＝(3x)2＋x2． 　　解得x＝或x＝－(不合題意，舍去)． 　　∴AM＝． 　　(2)證明：(見答圖(b)) 　　不妨設P在上，在PC上截取PF＝PB，連結BF． 　　∵△ABC為正三角形， 　　∴AB＝BC，∠2＝∠ABC＝． 　　∴∠3＝∠2＝． 　　∴△PBF是等邊三角形． 　　∴∠PBF＝＝∠ABC，PB＝FB． 　　∴∠PBF－∠ABF＝∠ABC－∠ABF， 　　即∠4＝∠5． 　　∴△APB≌△CFB． 　　∴PA＝FC，即PA＝PC－PB． 　　∴x＋y－z＝0． 　　∴(x＋y－z)(y＋z－x)(x＋z－y)＝0．