Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10，CB=5，P，O分別是線段AC，AB上的動點，PO+PB的最小值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：作B關(guān)于AC的對稱點B′，連結(jié)AB′，則N點關(guān)于AC的對稱點N′在AB′上，這時，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距離BH′．

解答：解：作B關(guān)于AC的對稱點B′，作B′O⊥OB于O，交AC于P．
連結(jié)AB′，則O點關(guān)于AC的對稱點H′在AB′上，
∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，
∴AB′=AB，
∴∠AB′H=∠ABH．
這時，B到P到O的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距離BH′，
連結(jié)AB′和DC的交點E，
則S_△ABE=

1

2

×10×5=25，
由對稱知識，∠EAC=∠BAC=∠ECA，
所以EA=EC，令EA=x，則EC=x，ED=20-x，
在Rt△ADE中，
∵EA²=ED²+AD²，即x²=（10-x）²+5²，
∴x=

25

4

，
∵S_△ABE=

1

2

EA•BH′，
∴BH′=

2S△ABE

EA

=

25×2

25 4

=8．
在△BB′H′和△B′BQ中，

∠AB′H=∠ABH ∠BH′B′=∠B′QB BB′=B′B

，
∴△BB′H′≌△B′BQ（AAS），
∴BH′=B′Q=8．
故答案為：8．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，考查軸對稱的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解答此題時作出B點關(guān)于直線AC對稱的點B′是解答此題的關(guān)鍵．