Question

已知p為質數(shù)，使二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的兩根都是整數(shù)，求出p的所有可能值．

Answer 1

∵已知的整系數(shù)二次方程有整數(shù)根，
∴△=4p²-4（p²-5p-1）=4（5p+1）為完全平方數(shù)，
從而，5p+1為完全平方數(shù)
設5p+1=n²，注意到p≥2，故n≥4，且n為整數(shù)
∴5p=（n+1）（n-1），
則n+1，n-1中至少有一個是5的倍數(shù)，即n=5k±1（k為正整數(shù)）
∴5p+1=25k²±10k+1，p=k（5k±2），
由p是質數(shù)，5k±2＞1，
∴k=1，p=3或7
當p=3時，已知方程變?yōu)閤²-6x-7=0，解得x₁=-1，x₂=7；
當p=7時，已知方程變?yōu)閤²-14x+13=0，解得x₁=1，x₂=13
所以p=3或p=7．