Question

已知：在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC平分∠BAD，在DA的延長線上任取一點E，連接EC，作∠ECF=

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∠BCD，使CF與AB的延長線交于F、連接EF，請畫出完整圖形，探究：線段BF、EF、ED之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：在DE上截取DM=BF，由∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC平分∠BAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到CB=CD，利用等角的余角相等得到∠ACB=∠ACD，然后根據(jù)“HL”得到Rt△CBF≌Rt△CDM，則∠1=∠2，CF=CM，由∠ECF=

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∠BCD得∠ECF=∠ACB=∠ACD，則∠3=∠1=∠2，所以∠ECF=∠ECM，再利用“SAS”判斷△ECF≌△ECM，則EF=EM，于是EF=ED-MD，所以EF+BF=ED．

解答：解：BF+EF=ED．理由如下：
如圖，在DE上截取DM=BF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC平分∠BAD，
∴CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵在Rt△CBF和Rt△CDM中，

CB=CD BF=MD

，
∴Rt△CBF≌Rt△CDM（HL），
∴∠1=∠2，CF=CM，
∵∠ECF=

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∠BCD，
∴∠ECF=∠ACB=∠ACD，
∴∠3=∠1=∠2，
∴∠ECF=∠ECM，
∵在△ECF和△ECM中，

EC=EC ∠ECF=∠ECM CF=CM

，
∴△ECF≌△ECM（SAS），
∴EF=EM，
∴EF=ED-MD，即EF+MD=ED，
∴EF+BF=ED．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．也考查了角平分線的性質(zhì)．