Question

如圖，以△ABC的三邊為邊在BC同一側(cè)分別作三個等邊三角形△ABD、△BCE、△ACF．
（1）猜想四邊形ADEF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)△ABC滿足條件

 

時，四邊形ADEF是矩形；
（3）當(dāng)△ABC滿足條件

 

時，四邊形ADEF是菱形；
（4）當(dāng)△ABC滿足條件

 

時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,菱形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）先證明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，則DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，則四邊形ADEF是個平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形ADEF有一個角是90°，即∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形，依據(jù)矩形的定義判斷；
（3）當(dāng)AB=AC時，四邊形ADEF為菱形；
（4）當(dāng)AB=AC=BC時，四邊形ADEF不存在．

解答：解：（1）四邊形ADEF是個平行四邊形，
在△ABC和△DBE中，

BC=BE ∠ABC=∠DBE BA=BD

，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴DE=AC，
在△ABC和△FEC中，

BC=EC ∠ACB=∠FCE CA=CF

∴△ABC≌△FEC（SAS），
∴FE=AB，
∴DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，
∴四邊形ADEF是個平行四邊形；

（2）當(dāng)∠BAC=150°時，∠DAF=90°，此時四邊形ADEF是矩形；

（3）當(dāng)△ABC為等腰三角形并且不是等邊三角形時，即AB=AC時，
由第（1）題中可知四邊形ADEF的四邊都相等，此時四邊形ADEF是菱形；

（4）當(dāng)△ABC為等邊三角形時，即AB=AC=BC時，四邊形ADEF中的A點與E點重合，
此時以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

點評：本題考查了平行四邊形、菱形的判定以及等邊三角形的性質(zhì)．