Question

17．如圖，在正方形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠DBC的平分線BF交AC于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，求證：OE=$\frac{1}{2}$DF．

Answer 1

分析 作OG∥AB交BE于點(diǎn)G，則OG是△BDF的中位線，根據(jù)正方邊形的性質(zhì)求得∠AEB和∠ABE的度數(shù)，即可證明OG=OE，據(jù)此即可證得結(jié)論．

解答 證明：如圖，作OG∥AB交BE于點(diǎn)G．

∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OG是△BDF的中位線，
∴OG=$\frac{1}{2}$DF，
∵正方形ABCD中，∠ABD=∠DBC=45°，
又∵BF是∠DBC的平分線，
∴∠ABF=45°+$\frac{1}{2}$×45°=67.5°．
∵AB∥OG，
∴∠OGE=∠ABE=67.5°，
又∵在△ABE中，∠BAE=45°，
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠OGE=∠AEB，
∴OE=OG，
∴OE=$\frac{1}{2}$DF．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理以及等腰三角形的判定定理的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．