Question

已知關于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
①求證：不論k為何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
②若△ABC中，AB、AC的長是已知方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5．問：k為何值時，△ABC是直角三角形？

Answer 1

（1）證明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△＞0，
∴不論k為何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解為x=，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
設AB=k+2，AC=k+1，
當AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，解得k₁=-5，k₂=2，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
當AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，解得k=-14，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
當AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，解得k=11，由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k為2或11時，△ABC是直角三角形．
分析：（1）先計算出△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1＞0，然后根據△的意義即可得到結論；
（2）利用求根公式得到x₁=k+2，x₂=k+1，設AB=k+2，AC=k+1，再利用勾股定理的逆定理分類討論：AB²+AC²=BC²或AB²+BC²=AC²或AC²+BC²=AB²，分別建立關于k的方程，解出k的值，然后滿足兩根為正根的k的值為所求．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理．