Question

【題目】如圖，已知，點為直線上一點，以為邊，點為直角頂點作等腰直角三角形．

（1）如圖①，當點在線段上時，交于點，連接；

①找出一對全等三角形為_____________；

②若四邊形的面積為7，則的長是_______．

（2）如圖②，當點在的延長線上時，交于點，連接．

①的面積記為，的面積記為，探究、之間的數(shù)量關系并說明理由；

②當的面積為1時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②3；（2）①，理由見解析；②

【解析】

（1）①由“SAS”可證△ABE≌△CBF；

②過點B作BM⊥AC于M，由三角形的面積公式可求S△ABC=×4×2=4，可求S△CBF=3=S△ABM，即可求AE的長；

（2）①由全等三角形的性質S△ABE=S△CBF，由三角形面積關系可求4+m=n；

②過點B作BG⊥AC，BH⊥FC，由全等三角形的性質可得AE=CF，∠A=∠BCH=45°=∠ACB，由角平分線的性質可得BG=BH=2，由三角形面積可求DF=5，設AE=x，則，由三角形面積公式可列出，可求x的值，即可得AE的長．

解：（1）①△ABE≌△CBF；

理由如下：

∵∠ABC=∠EBF=90°，

∴∠ABE=∠CBF，且AC=BC，EB=BF

∴△ABE≌△CBF（SAS）

故答案為：△ABE≌△CBF；

②如圖，過點B作BM⊥AC于M，

∵∠ABC=90°，AB=BC，AC=4，BM⊥AC，

∴AM=CM=BM=2

∴S△ABC=×4×2=4

∵S四邊形ABFC=7

∴S△CBF=3=S△ABM，

∴×AE×BM=3

∴AE=3

故答案為：3；

（2）①∵

∴

即

∴

∴

②由①得：

當時，

即，

過點作于點，于點，

在中∵，

∴

∵

∴

∴

即平分，且，

∴

∵

∴

即

則

設，則，，

∵

∴

即

∵

∴

即

化簡得：

解得：(不合題意，舍去)

即．