Question

2．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM于點D，BE⊥CM于點E．
（1）如圖①，試寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，試寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAC=∠ECB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CE，DC=EB，等量代換得到結(jié)論；
（2）如圖②，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAC=∠ECB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CE，DC=EB，等量代換得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①DE=AD+BE，
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴AD=CE，DC=EB，
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）如圖2，DE=AD-BE，理由是：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCD=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAD}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

點評 本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關(guān)鍵：SSS、SAS、AAS、ASA；在證明線段的和與差時，利用全等三角形將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上得出結(jié)論．