Question

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的點(diǎn)，將DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，延長ED交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DC、AE。
（1）求證：△ADE≌△DFC；
（2）過點(diǎn)E作EH∥DC交DB于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，連結(jié)AH。求∠AHE的度數(shù)；
（3）若BG=，CH=2，求BC的長。

Answer 1

解：（1）如圖，
∵ 線段DB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段DE，
∴ ∠EDB =60°，DE=DB
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠B=∠ACB =60°
∴ ∠EDB =∠B 
∴ EF∥BC
∴ DB=FC，∠ADF=∠AFD =60°
∴ DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC =120°，△ADF是等邊三角形。
∴ AD=DF
∴ △ADE≌△DFC

（2）由 △ADE≌△DFC，
得 AE=DC，∠1=∠2
∵ ED∥BC， EH∥DC，
∴ 四邊形EHCD是平行四邊形。
∴ EH=DC，∠3=∠4
∴ AE=EH
∴ ∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB=60°
∴ △AEH是等邊三角形
∴∠AHE=60°；
（3）設(shè)BH=x，則AC= BC =BH+HC= x+2，
由（2）四邊形EHCD是平行四邊形，
∴ ED=HC
∴ DE=DB=HC=FC=2
∵ EH∥DC，
∴ △BGH∽△BDC
∴即
解得x=1
∴ BC=3。