Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，O，H分別為邊AB，AC的中點，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A₁BC₁的位置，求：
（1）整個旋轉(zhuǎn)過程中點H運動的路徑長；
（2）整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積是多少？

Answer 1

解：（1）連結(jié)OH、OH₁，如圖，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，
∴AC=BC=6，
∵H為AC的中點，
∴CH=AC=3，
在Rt△BCH中，BH==3，
∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A₁BC₁的位置，
∴∠HOH₁=120°，
∴弧HH₁的長度==2π，
即整個旋轉(zhuǎn)過程中點H運動的路徑長為2；

（2）BH交OO₁弧于P點，BH₁交OO₁弧于P₁點，如圖，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，
∵點O為AB的中點，
∴BO=6，
∵△BOH≌△BOH₁，
∴∠BOH=∠BOH₁，S_△BOH=S_△BOH1，
∴S_扇形BOP=S_扇形BO1P1，
∴線段OH所掃過部分的面積=S_扇形BHH1-S_扇形BPP1=-=9π．
分析：（1）連結(jié)OH、OH₁，先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=6，則CH=3，再利用勾股定理計算出BH=3，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定
∠HOH₁=120°，再根據(jù)弧長公式計算弧HH₁的長度；
（2）BH交OO₁弧于P點，BH₁交OO₁弧于P₁點，先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=12，則BO=6，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BOH=∠BOH₁，S_△BOH=S_△BOH1，則S_扇形BOP=S_扇形BO1P1，于是線段OH所掃過部分的面積=S_扇形BHH1-S_扇形BPP1，然后根據(jù)扇形面積進行計算．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了弧長公式和扇形的面積公式．