Question

9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，以BC邊的中點D為圓心，以CD的長為半徑作弧，交AB于點E；以點A為圓心，以AC的長為半徑作弧，交AB于點F，則陰影部分的面積為$\frac{3}{4}$π-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 連接DE，如圖，利用圓周角定理得到∠CEB=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=45°，所以∠CDE=90°，根據(jù)扇形面積公式和計算出S_{由AC、AE和弧CE所圍成的圖形}=S_△ABC-S_扇形CDE-S_△BDE=$\frac{3}{2}$-$\frac{π}{4}$，然后利用陰影部分的面積=S_扇形CAF-S_{由AC、AE和弧CE所圍成的圖形}進(jìn)行計算．

解答 解：連接DE，如圖，
∵點D為BC的中點，
即BC為直徑，
∴∠CEB=90°，
∴CE⊥AB，
而△ACB為等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠CDE=90°，
S_{由AC、AE和弧CE所圍成的圖形}=S_△ABC-S_扇形CDE-S_△BDE
=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{90•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×1
=$\frac{3}{2}$-$\frac{π}{4}$，
∴陰影部分的面積=S_扇形CAF-S_{由AC、AE和弧CE所圍成的圖形}
=$\frac{45•π•{2}^{2}}{360}$-（$\frac{3}{2}$-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{3}{4}$π-$\frac{3}{2}$．
故答案為$\frac{3}{4}$π-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了扇形面積的計算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S_扇形=$\frac{n•π•{R}^{2}}{360}$或S_扇形$\frac{1}{2}$lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）；求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．