Question

如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一動點，連AE交BD于F，過F作FH⊥AE交BC于H，過H作GH⊥BD交BD于G；求證：
（1）AF=FH；　　　　　　
（2）BD=2FG．

Answer 1

證明：（1）連接FC，延長HF交AD于點L，
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF；

（2）連接AC交BD于點O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
分析：（1）延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需證明FC=FH，可證：AF=FH；
（2）連接AC交BD于點O，證BD=2FG，只需證OA=GF即可，根據(jù)△AOF≌△FGH，可證OA=GF，故可證BD=2FG．
點評：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等是解題的關(guān)鍵．