Question

4．已知正方形ABCD的邊長為1，以AC為邊作等邊三角形ACE，過點(diǎn)E作AD邊的垂線交AD的延長線于點(diǎn)F，則EF的長為（　�。�

• A． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出DE是AC的垂直平分線，求出∠EAD=15°，得出∠EDF=45°，證出∠DEF=45°=∠EDF，得出EF=DF．由勾股定理求出AC，設(shè)DF=EF=x，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解連接ED，且延長交AC于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，AB=CD=AD，AB=AD=1，∠ADC=90°，
∴D在AC垂直平分線上，
∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=∠ACE=∠AEC=60°，EA=EC，
∴E在AC的垂直平分線上，
∴DE是AC的垂直平分線，
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°，
∵∠EAC=60°，∠DAC=45°，
∴∠EAD=60°-45°=15°，
∴∠EDF=15°+30°=45°，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∴∠DEF=45°=∠EDF，
∴EF=DF．
∵∠BAD=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，
即EA=AC=$\sqrt{2}$，
設(shè)DF=EF=x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EA²=EF²+DF²，
∴（$\sqrt{2}$）²=x²+（1+x）²，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（負(fù)值舍去）
∴EF=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)與判定，等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形的判定，正方形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．