Question

6．如圖，一塊直徑為10厘米（即AB=10厘米）的量角器，若將量角器與∠MPN，按如圖1所示疊放（A與P重合，AB與PM重合），并已知點B，C，A處的讀數分別為0，36.5°，
180°；（可用計算器，結果精確到0.01）．
﹙1﹚∠MPN的度數是18.25 度．
﹙2﹚求線段PC的長；
（3）在圖1的狀態(tài)下，∠MPN不動，量角器沿著射線AB向右平移（如圖2），問平移多少厘米后半圓量角器與PN相切于D，則切點D讀數是多少？

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理求出即可；
（2）根據切線的性質求出∠ACB=90°，解直角三角形求出PC即可；
（3）解直角三角形求出OP，即可求出PA，根據鄰補角定義求出∠BOD即可．

解答 解：（1）∵已知點B，C，A處的讀數分別為0，36.5°，180°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×36.5°=18.25°，
故答案為：18.25；

（2）連接BC，如圖1，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴$cos{18.25°}=\frac{PC}{AB}$，
PC=10×cos18.25°=10×0.95=9.5（cm）；

﹙3﹚∵PN與圓切于D，連接OD，如圖2，
則OD⊥PN，
∵在Rt△PDO中，sin18.25°=$\frac{5}{OP}$，
∴OP=$\frac{5}{{sin{{18.25}°}}}=\frac{5}{0.313}≈15.97$，
∴PA=15.97-5=10.97，
∵∠BOD=90°+18.25°=108.25°，
∴切點D讀數是108.25°，
所以平移大約10.97厘米后半圓量角器與PN相切于D，則切點D讀數是108.25°．

點評 本題考查了圓周角定理，解直角三角形，切線的性質的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，注意：直徑所對的圓周角是直角，圓的切線垂直于過切點的半徑，有一定的難度．