Question

如圖，△ABC中，AB=BC=5，AC=3．D為AB上的點（點D與點A、B不重合），作DE∥BC交AC于點E．
（1）若CE=x，BD=y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的范圍；
（2）若G為BC邊上一點，當四邊形DECG為菱形時，求BG的長；
（3）BC邊上是否存在點F，使△FDE∽△BAC？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC交AC于點E，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵CE=x，BD=y，
∴AE=AC-CE=3-x，AD=AB-BD=5-y，
∴，
∴y=x（0＜x＜3）；

（2）∵四邊形DECG為菱形，
∴DG∥AC，DE=DG=CG=CE，
∴△BGD∽△BCA，
∴，
設BG=a，則CG=5-a，
∴DG=CG=5-a，
∴，
∴a=，
∴BG=；

（3）BC邊上存在點F，使△FDE∽△BAC，
∵△FDE∽△BAC，
∴∠DFE=∠ABC，∠FDE=∠BAC，∠DEF=∠ACB，
又∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠DFE=∠FEC，
∴DF∥AC，
∴四邊形DFCE為平行四邊形，
∴△BDF∽△BAC，
設DE=3k，則DF=EF=EC=5k，FC=3k
∴，
∴，
∴k=＜6，
∴BF=5-=
∴當BF=時，△FDE∽△BAC．
分析：（1）由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可的到x和y的函數關系式，在由已知條件寫出自變量x的范圍即可；
（2）根據菱形的性質四邊相等，可設BG=a，則CG=DG=5-a，又因為DG∥AC，所以△BGD∽△BCA，利用相似三角形的性質可得到關于a的比例式，求出a即可；
（3）假設BC邊上存在點F，使△FDE∽△BAC當，由相似三角形的性質和已知條件可證明四邊形DFCE為平行四邊形，進而證明△BDF∽△BAC，設DE=3k，則DF=EF=EC=5k，FC=3k，由比例式即可求出k的值，若k＜5即可存在，否則不存在．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、菱形的性質，題目的綜合性很強，解題的關鍵是設未知數建立方程，運用方程的思想解幾何問題．