Question

AD是△ABC的角平分線，M是BC的中點，F(xiàn)M∥AD交AB的延長線于F，交AC于E．
（1）求證：CE=BF；
（2）探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

（1）證明：延長CA交FM的平行線BG于G點，
∠G=∠CAD、∠GBA=∠BAD
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AG=AB，
∵FM∥AD
∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠F=∠FEA，
∴EA=FA，
∴GE=BF，
∴M為BC邊的中點，
∴BM=CM，
∵EM∥GB，
∴CE=GE，
∴CE=BF；

（2）AB+AC=2EC．
證明：∵EA=FA、CE=BF，
∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
分析：（1）延長CA交FM的平行線BG于G點，利用平行線的性質(zhì)得到BM=CM、CE=GE，從而證得CE=BF；
（2）利用上題證得的EA=FA、CE=BF，進一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造輔助線，另外題目中還考查了平行線等分線段定理．