Question

3．（1）如圖（1）在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：$\frac{DP}{BQ}=\frac{PF}{QC}$．
（2）如圖（2）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交DE于M、N兩點，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QC}$；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長$\frac{\sqrt{2}}{3}$，根據(jù)$\frac{MN}{GF}$等于高之比即可求出MN．

解答 （1）證明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}$，
同理在△ACQ和△APE中，$\frac{EP}{CQ}$=$\frac{AP}{AQ}$，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QC}$．

（2）解：作AQ⊥BC于點Q．
∵BC邊上的高AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=$\frac{1}{3}$，DE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵DE邊上的高為$\frac{\sqrt{2}}{6}$，MN：GF=$\frac{\sqrt{2}}{6}$：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN：$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，難度較大，作輔助線AQ⊥BC是解題的關鍵．