Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，$\sqrt{3}$）為圓心，以2$\sqrt{3}$長為半徑作⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C，D兩點，連結(jié)AM并延長交⊙M于P點，連結(jié)PC交x軸于E，連結(jié)AC．
（1）求證：點P是$\widehat{BD}$的中點；
（2）求出CP所在直線的解析式；
（3）若點F（x，0）是線段OB上的一個動點，連結(jié)MF、PF．
①設△MPF的面積為S，寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②是否存在這樣的點F使△MPF的周長最小？若存在，請求出F點的坐標及最小周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性質(zhì)可得∠AMO=60°，由外角性質(zhì)可得∠MCP=30°，由圓周角定理可得結(jié)論；
（2）利用圓周角定理和垂徑定理易得PB∥MO，AO=BO，可得PB=2OM，得P點坐標，由點C的坐標，利用待定系數(shù)法易得直線PC的解析式；
（3）①數(shù)形結(jié)合可得S_△MPF=S_{四邊形OMBP}-S_△MOF-S_△PBF，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式計算即可；②利用對稱的性質(zhì)可得當點F運動到點E時，△MPF的周長最小，解得E點的坐標，可得△MPF的最小周長．

解答 解：（1）在直角三角形AMO中，
∵OM=$\frac{1}{2}$AM，
∴∠MAO=30°，∠AMO=60°，
∵AM=MC，
∴$∠MPC=∠MCP=\frac{1}{2}∠AMO$=30°，
∴∠PAO=∠MCP，
∴DP=BP，即點P是BD的中點；

（2）連接BP，如圖1，
∵AP是⊙M的直徑，
∴∠PBA=90°，
∵PC是⊙M的直徑，且垂直于弦AB，
∴DC平分弦AB，
∵在Rt△AMO中，AM=2$\sqrt{3}$，OM=$\sqrt{3}$，
∴AO=OB=3，OC=MC-OM=2$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴C點坐標為；（0，-$\sqrt{3}$），
∵DC⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2$\sqrt{3}$，
∴P點的坐標為（3，2$\sqrt{3}$），
又∵C（0，-$\sqrt{3}$），
設直線CP的解析式為y=kx+b（k≠0）得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=3k+b}\\{-\sqrt{3}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CP的解析式為：y=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$；


（3）①如圖2，S_△MPF=S_{四邊形OMBP}-S_△MOF-S_△PBF
=$\frac{1}{2}$×（OM+BP）×OB$-\frac{1}{2}OM•OF$$-\frac{1}{2}•BP•BF$
=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×3$-\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{2}×（3-x）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3\sqrt{3}}{2}$（0≤x≤3）；
②∵點M與點C關(guān)于AB對稱，
∴當點F運動到點E時，△MPF的周長最小，
把y=0代入直線CP的解析式為y=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，
解得：x=1，
∴點E的坐標為（1，0），
∴當點F的坐標為（1，0）時，使△MPF的周長最小，△MPF的最小周長=PC+MP=6$+2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)和待定系數(shù)法求解析式等，綜合運用各定理數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．