Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A在x軸上，與y軸的交點為B（0，1），且b=-4ac．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑的圓經過拋物線的頂點A？若不存在，說明理由；若存在，求出點C的坐標，并求出此時圓的圓心點P的坐標；
（3）根據（2）小題的結論，你發(fā)現B、P、C三點的橫坐標之間、縱坐標之間分別有何關系？

Answer 1

解：（1）將B（0，1）代入y=ax²+bx+c中，得c=1．
又∵b=-4ac，頂點A（-，0），
∴-==2c=2．
∴A（2，0）．
將A點坐標代入拋物線解析式，得4a+2b+1=0，
∴
解得a=，b=-1，
故拋物線的解析式為y=x²-x+1．

（2）假設符合題意的點C存在，其坐標為C（x，y），作CD⊥x軸于D，連接AB、AC．
∵A在以BC為直徑的圓上，
∴∠BAC=90°．
∴△AOB∽△CDA，
∴OB•CD=OA•AD，
即1•y=2（x-2），
∴y=2x-4，
由，
解得x₁=10，x₂=2．
∴符合題意的點C存在，且坐標為（10，16），或（2，0），
∵P為圓心，
∴P為BC中點，
當點C坐標為（10，16）時，取OD中點P₁，連PP₁，則PP₁為梯形OBCD中位線，
∴PP₁=（OB+CD）=．
∵D（10，0），
∴P₁（5，0），
∴P₂（5，）．
當點C坐標為（2，0）時，取OA中點P₂，連PP₂，則PP₂為△OAB的中位線．
∴PP₂=OB=，
∵A（2，0），
∴P₂（1，0），
∴P（1，）．
故點P坐標為（5，），或（1，）．

（3）設B、P、C三點的坐標為B（x₁，y₁），P（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由（2）可知：
．
分析：（1）已知拋物線過B點，由b=-4ac可求頂點坐標，代入解出系數，從而求出拋物線表達式；
（2）假設存在，設出C點，作CD⊥x軸于D，連接AB、AC，可證三角形相似，根據相似比例，求出C點，再作輔助線，利用圓及梯形OBCD的性質求出P點坐標；
（3）由第二問結論，設出B，P，C點代入公式就可找到關系．
點評：此題還是考拋物線的性質和頂點坐標，第二問探究存在性問題，充分利用圓和梯形的性質，綜合性性較強，第三問利用第二問的結論，要看清題意．