Question

16．如圖是邊長為2的正方形ABCD，對角線為AC，△ABC以點A為中心，順時針旋轉45°得△AB′C′，則圖中陰影部分的面積為4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質得BC=2，AC=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠BCA=∠ACD=45°，∠ADC=90°，再利用旋轉的性質得∠AC′F=45°，∠FDC′=90°，則FD=DC′，AD=BC=2，則可判斷點D在AC上，所以DC′=AC′-DC′=2$\sqrt{2}$-2，易得等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質，利用S_陰影部分=S_△AB′C′-S_△FDC′進行計算．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=2，AC=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠BCA=∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∵△ABC以點A為中心，順時針旋轉45°得△AB′C′，
∴∠AC′B′=45°，∠FDC′=∠FDA=90°，AD=BC=2，
∴點G在BD上，
∴DC′=AC′-AD=2$\sqrt{2}$-2，
∵△DFG為等腰直角三角形，
∴DF=DC′=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_陰影部分=S_△AB′C′-S_△FDC′=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）²=4$\sqrt{2}$-4．
故答案為4$\sqrt{2}$-4．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．