Question

（2011•長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知平行四邊形ABCD，設(shè)

BC

=

m

，

BA

=

n

，點(diǎn)P、Q分別是對(duì)角線AC、BD的點(diǎn)，且

AP

=

1

2

AO

，

OQ

=

1

2

OD

，試用

m

、

n

分別表示

PO

、

OQ

、

PQ

．

Answer 1

分析：連接PQ，利用三角形AOD的中位線定理和平行四邊形ABCD的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)推知PQ∥AD∥BC且2PQ=AD=BC；然后根據(jù)平面向量的幾何意義以及向量的三角形法則解答即可．

解答：解：連接PQ．
∵點(diǎn)P、Q分別是對(duì)角線AC、BD的點(diǎn)，且

AP

=

1

2

AO

，

OQ

=

1

2

OD

，
∴點(diǎn)P、Q分別是AO、DO的中點(diǎn)，
∴PQ∥AD∥BC且2PQ=AD=BC，
∴

PQ

=

1

2

m

；
∵

AC

=

BC

-

BA

=

m

-

n

；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

PO

=

AP

=

1

4

AC

=

1

4

（

m

-

n

）；
∵

BD

=

BA

+

BC

=

m

+

n

，
∴

OQ

=

1

2

OD

=

1

2

×

1

2

BD

=

1

4

（

m

+

n

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算．把向量同解三角形結(jié)合的問題，均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題．