Question

20．如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）證明：BD是⊙O的切線．
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為16，cos∠BFA=$\frac{2}{3}$，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請(qǐng)你求出其面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）BD是⊙O的切線．先連接OB，由于AC是直徑，那么∠ABC=90°，得到∠BAC+∠C=90°，由OA=OB，得到∠BAC=∠OBA，證明∠OBD=90°，根據(jù)切線的判定定理證明；
（2）由于cos∠BFA=$\frac{2}{3}$，那么$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，證明△EBF∽△CAF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．

解答 解：（1）BD是⊙O的切線，
理由：如右圖所示，連接OB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴∠OBA+∠C=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴∠ABD+∠OBA=90°，即∠OBD=90°，
∴DB是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BFA=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠E=∠C，∠EBF=∠FAC，
∴△EBF∽△CAF，
∴S_△BFE：S_△AFC=（$\frac{BF}{AF}$）²=$\frac{4}{9}$，
∵△BEF的面積為16，
∴△ACF的面積為36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、余弦．解題的關(guān)鍵是連接OB，并證明△EBF∽△CAF．