Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長線上一點，連接ED，與BC交于點H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點F，并與BC交于點G．已知G為CH的中點，且∠BEH=∠HEG．
（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中點，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；

（2）解：過點H作HI⊥EG于I，
∵G為CH的中點，
∴HG=GC，
∵EF⊥DC，
HI⊥EF，
∴∠HIG=∠GFC=90°，
∠FGC=∠HGI，
∴△GIH≌△GFC，
∵△EBH≌△EIH（AAS），
∴FC=HI=BH=1，
在△ADE和△FDE中：∠BEH=∠HEG，∠A=∠DFE=90°，DE=DE，
∴△ADE≌△FDE，
∴DF=AD，
∴AD=4-1=3．
分析：（1）熟記全等三角形的判定定理，根據(jù)題目所給的條件能夠證明∠AED=∠CGF，EH=GC，且是直角三角形，可根據(jù)AAS證明其全等．
（2）過點H作HI⊥EG于I，再證△GIH≌△GFC，根據(jù)全等三角形的性質可求出其結果．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，以及直角梯形的性質等．