Question

4．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在BC上，若線段AD平分△ABC的面積，請畫出線段AD，并計(jì)算AD=4．
（2）如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形（AB＜BC），請你畫一條直線l，使其平分?ABCD的面積，且直線l在?ABCD內(nèi)部的線段最短，并說明理由．
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，是否存在過點(diǎn)A的一條直線將四邊形ABCD的面積平分？如果存在，請畫出符合條件的直線，并說明你的做法和理由，如果不存在，也請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作中線AD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理求AD的長；
（2）經(jīng)過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，最短；
（3）取CD 的中點(diǎn)M，連接AM并延長交BC的延長線于N，取BN的中點(diǎn)E，則A，E的直線將四邊形ABCD的面積平分，得到△ADM≌△CMN，于是得到S_{四邊形AECD}=S_△AEN，等量代換得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，作中線AD，則AD平分△ABC的面積，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=AB=5，
∴AD⊥BC，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
故答案為：4；

（2）連接AC、BD，交于O，
過O作直線MN，交AD于M，交BC于N，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN是最短，如圖②，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴S_△AOM=S_△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S_△OMD=S_△ONB，S_△AOB=S_△COD，
∴S_△AOM+S_△AOB+S_△BON=S_△CON+S_△COD+S_△OMD，
即MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；

（3）取CD 的中點(diǎn)M，連接AM并延長交BC的延長線于N，
取BN的中點(diǎn)E，則A，E的直線將四邊形ABCD的面積平分，
理由：∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠N，
在△ADM與△NCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠N}\\{∠AMD=∠CMN}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CMN，
∴S_{四邊形AECD}=S_△AEN，
∵E是BN的中點(diǎn)，
∴S_△ABE=S_△AEN，
∴S_{四邊形AECD}=S_△ABE．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、等腰三角形、梯形的性質(zhì)，明確三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分．