Question

如圖，點(diǎn)P在雙曲線（k．＞0）第一象限內(nèi)的分支上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心的圓保持與y軸相切于點(diǎn)A，與雙曲線交于點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)P上方．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，⊙P與y軸的切點(diǎn)A（0，），試求雙曲線的解析式；
（2）切點(diǎn)A是否有可能與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合？
（3）在（1）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為正三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，⊙P與y軸的切點(diǎn)A（0，），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，），
∴=，
∴k=2，
∴雙曲線y=的解析式為：y=；

（2）切點(diǎn)A不能與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．
理由：若切點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，
即點(diǎn)P在x軸上，
∵反比例函數(shù)與x軸不相交，
∴點(diǎn)P不能在x軸上，
∴切點(diǎn)A不能與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合；

（3）存在．
理由：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（a，），
則AP=a，
過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AP于點(diǎn)C，
∵△ABP為正三角形，
∴AC=AP=a，∠BAP=60°，
在Rt△BAC中，BC=AC•cos∠BAP=a×=a，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（a，a+），
∵點(diǎn)B在雙曲線y=上，
∴a×（a+）=2，
解得：a²=4，
∴a=±2．
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴a=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，）．
分析：（1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，⊙P與y軸的切點(diǎn)A（0，），可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，），然后由待定系數(shù)法即可求得雙曲線的解析式；
（2）利用反證法，若切點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，可得即點(diǎn)P在x軸上，又由反比例函數(shù)與x軸不相交，可得切點(diǎn)A不能與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（a，），由△ABP為正三角形，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（a，a+），又由點(diǎn)B在雙曲線y=上，即可得方程a×（a+）=2，解此方程即可求得a的值，繼而求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、切線的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)與反比例函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．