Question

點(diǎn)M是四邊形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，∠AMD=120°．
求證：AB++CD≥AD．

Answer 1

證明：如圖，作出點(diǎn)B關(guān)于AM的對稱點(diǎn)B′，點(diǎn)C關(guān)于MD的對稱點(diǎn)C′，連接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AB′=AB，BM=B′M，CM=C′M，C′D=CD，∠AMB=AMB′，∠DMC=∠DMC′，
∵∠AMD=120°，
∴AMB+∠DMC=180°-∠AMD=180°-120°=60°，
∴∠B′MC′=∠AMD-（∠AMB′+∠DMC′）=120°-60°=60°，
∵點(diǎn)M是四邊形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
∴B′M=C′M，
∴△B′C′M是等邊三角形，
∴B′C′=BC，
所有，①當(dāng)點(diǎn)B′、C′在AD上時(shí)，AB+BC+CD=AD，
②當(dāng)點(diǎn)B′、C′不在AD上時(shí)，根據(jù)連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短，AB+BC+CD＞AD，
綜上，AB+BC+CD≥AD．
分析：根據(jù)對稱性，作出點(diǎn)B關(guān)于AM的對稱點(diǎn)B′，點(diǎn)C關(guān)于MD的對稱點(diǎn)C′，再連接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及∠AMD=120°可以證明△B′C′M是等邊三角形，然后根據(jù)連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短證明．
點(diǎn)評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)，作出對稱點(diǎn)構(gòu)造出圖形更形象直觀，注意證明得到△B′C′M是等邊三角形非常關(guān)鍵．