Question

10．二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+2m+5的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)分別為A、B、C，且△ABC是直角三角形，則m的值為-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分別令x=0和y=0代入求拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，寫出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，再證明△AOC∽△COB，$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$，代入即可求出m的值，并取舍．

解答 解：如圖，當(dāng)x=0時(shí)，y=2m+5，
∴C（0，2m+5），
∴OC=2m+5，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+mx+2m+5=0，
x²-2mx-4m-10=0，
x=m±$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，
∴A（m-$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，0）、B（m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，0），
∴OB=m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，OA=-m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∴OC²=AO•OB，
∴（2m+5）²=（m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$）（-m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$），
4m²+20m+25=m²+4m+10-m²，
4m²+16m+15=0，
（2m+3）（2m+5）=0，
m₁=-$\frac{3}{2}$，m₂=-$\frac{5}{2}$，
當(dāng)m₂=-$\frac{5}{2}$時(shí)，y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{5}{2}$x，
此時(shí)拋物線與y軸交在原點(diǎn)處，即拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為兩個(gè)，不能構(gòu)建成三角形，不符合題意，舍去；
∴m=-$\frac{3}{2}$，
故答案為：-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．與y軸的交點(diǎn)，令x=0，即y=c；根據(jù)直角三角形，證明兩三角形相似，列比例式可求解．