Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD，DE，以CD，DE為邊作□CDEF。

（1）當(dāng)0< m <8時(shí)，求CE的長（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)m =3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使□CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF為矩形，請(qǐng)求出所有滿足條件的m的值。

Answer 1

（1）（2）存在（3）m的值為或0或或

【解析】解：（1）∵A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8�！郃B=10。

∵∠CEB=∠EBC=90⁰，∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO。

∴，即。∴。

（2）存在。

∵m =3，∴BC=8－m=5，。

∴根據(jù)勾股定理得BC=4。

∴AE=AB－BE=6。

∵點(diǎn)F落在y軸上（如圖1），

∴DE∥BO。

∴△EDA∽△BOA�！�，即。

解得：�！帱c(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）。

（3）取CE的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，

則。

①當(dāng)0< m <8時(shí)（如圖2），

易證∠GCP=∠BAO，

∴。

∴。

∴。

由題意，根據(jù)矩形對(duì)角線平分且相等的性質(zhì)，得OG=CP，

∴，解得。

②當(dāng)m≥8時(shí)，OG＞CP，不存在滿足條件的m的值。

③當(dāng)m =0，即點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)（如圖3），

滿足題意。

④當(dāng)m＜0時(shí)，分兩種情況：

ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖4），

易證△COA∽△AOB，

∴，即。

解得。

ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖5），

，

由題意，得OG=CP，

∴。

解得。

綜上所述，m的值為或0或或。

（1）由△BCE∽△BAO即可用含m的代數(shù)式表示出CE的長。

（2）由△EDA∽△BOA即可求得，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）分①0< m <8，②m≥8，③m =0，④m＜0四種情況討論。