Question

如圖，已知拋物線和x軸交于兩點(diǎn)A、B，和y軸交于點(diǎn)C，已知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，則此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________．

Answer 1

（，）
分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)求出OA、OB的長(zhǎng)，再根據(jù)△AOC和△COB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OC的長(zhǎng)度，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求出a的值，再整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解：∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1，4，
∴OA=1，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵CO⊥AB，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠CAB=∠BCO，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴=，
即=，
解得OC=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1，4，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，a（0+1）（0-4）=2，
解得a=-，
∴y=-（x+1）（x-4）=-（x²-3x-4）=-（x-）²+，
∴此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
故答案為：（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出OC的長(zhǎng)得到點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，利用拋物線交點(diǎn)式形式更簡(jiǎn)單．