Question

4．如圖，在銳角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD為直徑的⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．
（1）求∠EDF的度數(shù)；
（2）已知P是射線DC上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到PD=BD時(shí)，連結(jié)AP，交⊙O于G，連結(jié)DG．若∠BAC=70°，∠APB=50°，⊙O 的半徑長為1，
①求證：∠EDG+∠BAG=180°； 
②求劣弧DF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，直接運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠EDF，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；要求劣弧DF的長，需求出圓心角∠DOF的度數(shù)；因此，只要求出∠DAC；首先證明AB=AP，得到∠B=∠APD=50°；根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出∠BAD，進(jìn)而求出∠DAC；運(yùn)用弧長公式即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，設(shè)∠BAC=α；
∵四邊形AEDF為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠EDF+∠EAF=180°，
∴∠EDF=180°-α．
（2）①如圖，∵四邊形AEDG是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠EDG+∠BAG=180°．
②如圖，連接OF；
∵AD⊥BP，BD=PD，
∴AD為線段BP的垂直平分線，
∴AB=AP，∠B=∠APB=50°，
∴∠BAD=90°-50°=40°，而∠BAC=70°，
∴∠DAC=30°，∠DOF=60°，
∴$\widehat{DF}$的長=$\frac{60π•1}{180}$=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 該題以圓為載體，以考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、弧長公式及其應(yīng)用等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；牢固掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理等是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．