Question

13．如圖，P為正方形ABCD 的邊AD上的一動點(diǎn)，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點(diǎn)E、F，已知AD=4．
（1）證明：AE²+CF²=16．
（2）過點(diǎn)P作PM∥FC交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)P在何位置時(shí)線段DM最長，并求此時(shí)DM的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直定義得出∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結(jié)合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²；
（2）設(shè)AP=x，則PD=4-x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關(guān)于x的一元二次函數(shù)，求出DM的最大值．

解答 （1）證明：∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=4²=16；

（2）解：設(shè)AP=x，則PD=4-x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BAP=90°，∠DCB=90°，
∴∠DPM+∠DMP=90°，∠DCF+∠BCF=90°，
∵PM∥CF，
∴∠DMP=∠DCF，
∴∠DPM=∠BCF，
由（1）知：∠BCF=∠ABP，
∴∠DPM=∠ABP，
∵∠D=∠BAP，
∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴$\frac{DM}{AP}$=$\frac{PD}{BA}$，
即$\frac{DM}{4-x}$=$\frac{x}{4}$，
∴DM=$\frac{x（4-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}$x²+x，
當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，DM有最大值為1．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯(cuò)的中考試題．