Question

14．已知：如圖，△ABC，BD=CD，AD平分∠BAC，求證：∠BAC+∠BDC=180°．

Answer 1

分析 過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DN，推出Rt△BDM≌Rt△CDN，于是得到∠BDM=∠CDN，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠MDN=180°，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
在Rt△BDM與Rt△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN，
∵∠AMD+∠AND=180°，
∴∠BAC+∠MDN=180°，
∴∠BDC+∠BAC=180°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．