Question

如圖，P是AB上一點，△APC，△BDP都是等邊三角形，連接BC和AD．
（1）圖中有一對全等三角形，請你找出它們，并證明．
（2）AD與CP交于M，BC與DP交于N，判斷△PMN的形狀，并說明理由．
（3）AD與BC交于點E，求∠BED的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，即可證明△APD≌△CPB；
（2）根據△APD≌△CPB得出∠1=∠2，再有條件DP=PB，∠CPD=∠DPB=60°，可以證出△MPD≌△NPB，可得到PM=PN，再由條件∠MPN=60°可得到△PMN是等邊三角形；
（3）根據△APD≌△CPB，可得∠1=∠2，再根據三角形外角與內角的關系可得∠DPB=∠1+∠DAP=∠2+∠DAP=60°，繼而得到∠DEB=60°．

解答：解：（1）△APD≌△CPB，
∵△APC和△PDB都是等邊三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∴∠APC+∠CPD=∠DPB+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（2）∵△APD≌△CPB，
∴∠1=∠2，
在△MPD和△NPB中：

∠1=∠2 DP=BP ∠CPD=∠NPB=60°

，
∴△MPD≌△NPB（ASA），
∴PM=PN，
∴△PMN為等腰三角形，
∵∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形；

（3）∵△APD≌△CPB，
∴∠1=∠2，
∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB=∠1+∠DAP=∠2+∠DAP=60°，
又∠DEB是△AEB的外角，
∴∠DEB=∠2+∠DAP=60°．

點評：本題考查了等邊三角形及全等三角形的判定與性質，難度一般，關鍵是找出條件證明兩個三角形全等．