Question

8．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于點H，交AB于點G，E為AB上一點，連接CE交AD于點F．
（1）如圖1，若CE⊥AB于點E，HG=1，CH=5，求CF的長；
（2）如圖2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求證：CE=$2\sqrt{2}$HE；
（3）如圖3，若E為AB的中點，作A關(guān)于CE的對稱點A′，連接CA′，EA′，DA′，請直接寫出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之間的等量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）關(guān)鍵已知條件推出△ACD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠CDA=45°通過全等三角形得到HF=HG=1，由勾股定理得到結(jié)論；
（2）如圖2，過H作MH⊥EH，交CE于M，連接AM，由已知條件得到△EHM為等腰直角三角形，∠EHM=90°，于是得到EH=MH，EM=$\sqrt{2}$HE，關(guān)鍵全等三角形的性質(zhì)得到∠MAF=∠ECH證得△ACE是等腰三角形于是得到結(jié)論；
（3）關(guān)鍵三角形的中位線的性質(zhì)得到EH∥BC，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到∠CA′E=∠CAE=90°-∠CEH，CA=CA′，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A′CD+90°-∠CEH+∠EA′D+90°-∠CEH+∠EA′D=180°，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵CG⊥AD，
∴∠CHF=∠AHG=90°，∠ACH=∠DCH=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，AH=DH=CH=5，
∴∠GAH+∠AGC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴∠GCE+∠AGC=90°，
∴∠GCE=∠GAH，
在△CHF與△AHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCE=∠GAH}\\{CH=AH}\\{∠CHF=∠AHG=90°}\end{array}\right.$，
∴△CHF≌△AHG，
∴HF=HG=1，
∴CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$；

（2）如圖2，過H作MH⊥EH，交CE于M，連接AM，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠GEH=∠ECG，
∵M(jìn)H⊥EH，
∴△EHM為等腰直角三角形，∠EHM=90°，
∴EH=MH，EM=$\sqrt{2}$HE，
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE，
在△AHM與△CHE中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=CH}\\{∠AHM=∠CHE}\\{MH=EH}\end{array}\right.$，
∴△AHM≌△CHE，
∴∠MAF=∠ECH，
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°，
∴∠CHD=180°-90°，
∴AM⊥CE，
∵AC=AE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴CM=EM=$\sqrt{2}$HE，
∴CE=2EM=2$\sqrt{2}$HE；

（3）∵H為AD的中點，E為AB的中點，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH∥BC，
∴∠CEH=∠BCE，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=90°-∠BCE=90°-∠CEH，
∵EC=AE，
∴∠CAE=∠ACE=90°-∠CEH，
∴∠CAE=∠ACE=90°-∠CEH，
∵A關(guān)于CE的對稱點A′，
∴∠CA′E=∠CAE=90°-∠CEH，CA=CA′，
∵CA=CD，
∴CA′=CD，
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°-∠CEH+∠EA′D，
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°，
∴∠A′CD+90°-∠CEH+∠EA′D+90°-∠CEH+∠EA′D=180°，
化簡得：∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH，

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決（2）的關(guān)鍵．