Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC。
（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；
（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形。

Answer 1

證明：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD， ∴EC=BE=BC=AD， 又∵AD∥DC， ∴四邊形AECD為平行四邊形， ∴AE∥DC， ∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO， ∴△AOE∽△COF。
（2）連接DE， ∵AD平行且等于BE， ∴四邊形ABED是平行四邊形， 又∠ABE=90°， ∴四邊形ABED是矩形， ∴GE=GA=GB=GD=BD=AE， ∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)， ∴EF、GE是△CBD的兩條中線， ∴EF=BD=GD，GE=CD=DF， 又GE=GD， ∴EF=GD=GE=DF, ∴四邊形EFDG是菱形。