Question

已知：如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4，求梯形的面積．

Answer 1

解：方法一：過點B作BE⊥DA交DA的延長線于E．
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°．
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD=2，ED=BD×cos30°=6．
在Rt△BEA中，
∴AE=BE•cot60°=2×=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，
∴S_梯形=（AD+BC）•EB=×（4+4）×2=4+12．

方法二：過點A作AE⊥BD于E，過點D作DF⊥BC于F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD．
∵∠BAD=120°，
∴∠2=∠3=∠1=30°．
∵BD=4，
∴ED=BD=2．
在Rt△AED中，AD==4，
在Rt△BFD中，DF=BD=2，
∴S_梯形=（AD+BC）•DF=×（4+4）×2=4+12．
分析：過點B作BE⊥DA交DA的延長線于E，則分別構成兩個直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性質求得ED，BE，AD，BD的長，再利用梯形的面積公式即可求得梯形的面積．
點評：此題考查梯形的性質及解直角三角形的綜合運用．