Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）的非常距離為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）的非常距離為|y₁-y₂|；
例如：點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因?yàn)閨1-3|＜|2-5|，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q的交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)A（$-\frac{1}{2}$，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值．
（2）已知C是直線$y=\frac{3}{4}x+3$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，可得|0-b|=2，據(jù)此求出b的值，即可求出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．
②根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），判斷出當(dāng)|b|≤$\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值是$\frac{1}{2}$即可．
（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（a，$\frac{3}{4}a+3$），分三種情況討論：Ⅰ、當(dāng)a≥0時(shí)；Ⅱ、當(dāng)a≤-4時(shí)；Ⅲ、當(dāng)-4＜a＜0時(shí)；求出點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．
②設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（a，$\frac{3}{4}a+3$），分三種情況討論：Ⅰ、當(dāng)a≥0時(shí)；Ⅱ、當(dāng)a≤-4時(shí)；Ⅲ、當(dāng)-4＜a＜0時(shí)；判斷出當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，據(jù)此求出點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$，
∴|0-b|=2，
解得b=2或b=-2，
∴滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-2）或（0，2）．

②∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），
∵|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)|b|≤$\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值是$\frac{1}{2}$．

（2）①如圖2，，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（a，$\frac{3}{4}a+3$），
Ⅰ、當(dāng)a≥0時(shí)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是：|3-1|=2；
Ⅱ、當(dāng)a≤-4時(shí)，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是：|-4|=4；
Ⅲ、當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，
當(dāng)CE=DE時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小，
此時(shí)$\frac{3}{4}a+3$-1=-a，
解得a=-$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{3}{4}a+3$=$\frac{3}{4}×（-\frac{8}{7}）+3=\frac{15}{7}$，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是$\frac{8}{7}$，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）．
綜上，可得
點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是$\frac{8}{7}$，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）．

②如圖3，，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（a，$\frac{3}{4}a+3$），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，y），
Ⅰ、當(dāng)c≥0時(shí)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），圓與y軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是：|3-1|=2；
Ⅱ、當(dāng)c≤-4時(shí)，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-4，0），圓與x軸的負(fù)半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是：|-4-（-1）|=3；
Ⅲ、當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
由$\frac{3}{4}a+3$-$\frac{4}{5}$=-$\frac{3}{5}-a$，
解得a=-$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{3}{4}a+3$=$\frac{3}{4}×（-\frac{8}{5}）+3=\frac{9}{5}$，
∵$\frac{9}{5}-\frac{4}{5}=1$，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值是1，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了對“非常距離”的含義的理解，要熟練掌握，并能求出兩點(diǎn)之間的“非常距離”．