Question

如圖①，分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃．
（1）如圖②，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，寫出它們的關(guān)系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作正三角形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，確定它們的關(guān)系并證明；
（3）若分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個(gè)正多邊形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，請(qǐng)你猜想S₁，S₂，S₃之間的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：

分析：（1）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據(jù)AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關(guān)系；
（2）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據(jù)AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關(guān)系；
（3）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據(jù)AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關(guān)系．

解答：解：（1）S₃=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₁=

π

8

AB²，
∴S₂+S₃=S₁．

（2）S₂+S₃=S₁，
由三個(gè)四邊形都是正方形則：
∵S₃=AC²，S₂=BC²，S₁=AB²，
∵三角形ABC是直角三角形，
又∵AC²+BC²=AB²，
∴S₂+S₃=S₁．

（3）∵S₁=

3

4

AB²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AC²，
∴S₂+S₃=S₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理，此題主要涉及的知識(shí)點(diǎn)：三角形、正方形、圓的面積計(jì)算以及勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的公式，難度一般．