Question

如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN；
（1）延長MP交CN于點E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；
②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=

1

2

ME，而在Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，即可得到PM=PN．
（2）證明方法與②相同．

解答：證明：（1）①如圖2：
∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC邊中點，
∴BP=CP，
在△BPM和△CPE中，

∠ECP=∠MBP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM=

1

2

ME，
∴在Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，
∴PM=PN；
（2）成立，如圖3．
延長MP與NC的延長線相交于點E，

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC中點，
∴BP=CP，
在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠ECP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
∴PM=PE，
∴PM=

1

2

ME，
則Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，
∴PM=PN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BPM≌△CPE是解題的關鍵．