Question

8．如圖，一條直線與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，AC⊥x軸，垂足為C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從C，D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA，DC運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A，C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
①求證：PE=PF．
②若△PEF的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，即可得出反比例函數(shù)的解析式；求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，容易求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①證明△ACD為等腰直角三角形，得出∠ADC=45°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出CP=PD，CP⊥AD，∠ADC=∠ACP，由SAS證明△ECP≌△FDP，即可得出PE=PF；
②由△ECP≌△FDP，得出∠EPC=∠FPD，得出∠EPF=∠CPD=90°，證出△EPF為等腰直角三角形，得出△PEF的面積S=$\frac{1}{2}$PE²，當(dāng)PE⊥AC時(shí)，PE最小，求出PE的最小值，即可得出S的最小值．

解答 （1）解：把點(diǎn)A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{4}{x}$；
把點(diǎn)B（4，n）代入得：n=1，
∴B（4，1）
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=5，
∴直線AB的解析式為：y=-x+5，
當(dāng)y=0時(shí)，x=5，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，0）；
（2）①證明：∵A（1，4），C（1，0 ），D（5，0），AC⊥x軸于C，
∴AC=CD=4，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°，
∵P為AD中點(diǎn)，
∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD，
∴∠ADC=∠ACP，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別從C，D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA，DC運(yùn)動(dòng)，
∴EC=DF，
在△ECP和△FDP中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=PD}&{\;}\\{∠ECP=∠PDF}&{\;}\\{EC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECP≌△FDP（SAS），
∴PE=PF；
②解：∵△ECP≌△FDP，
∴∠EPC=∠FPD，
∴∠EPF=∠CPD=90°，
∴△PEF為等腰直角三角形，
∴△PEF的面積S=$\frac{1}{2}$PE²，
∴△PEF的面積最小時(shí)，EP最小，
∵當(dāng)PE⊥AC時(shí)，PE最小，
此時(shí)EP最小值=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴△PEF的面積S的最小值=$\frac{1}{2}$×2²=2．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要證明三角形全等和等腰直角三角形才能得出結(jié)論．