Question

4．如圖1，線段AB被P₁，P₂，P₃，…，P_n-1分成n（n≥2）份，設AP₁=x，若P₁P₂=x+1，P₂P₃=x=2，P₃P₄=x+3，…，P_n-1B=x+（n-1），則稱線段AB為n階線段；其中AP₁的長x叫做起分量，n稱為線段AB的階數(shù)．如：線段AB=9，可被P₁，P₂分為長為2，3，4三條線段（如圖2），即：9=2+3+4，則AB稱為起分量為2的3階線段；也可被P₁分為長4，5兩條線段（如圖3），即：9=4+5，則AB也可稱為起分量為4的2階線段．

（1）求起分量為7的3階線段長；
（2）求長為39的6階線段的起分量；
（3）長為15的線段可以是幾階線段，起分量分別是多少？（簡要說明理由）
（4）直接寫出長為2016，起分量為1的線段的階數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求三個連續(xù)整數(shù)的和，最小的數(shù)為7；
（2）6個連續(xù)的整數(shù)的和為39，設最小的數(shù)為x，列方程可求得；
（3）分三種情況：連續(xù)整數(shù)和為15，列式計算；
（4）設階數(shù)為a，則從1加到a的和為2016，列式得一元二次方程，解出即可．

解答 解：（1）7+8+9=24，
∴起分量為7的3階線段長為24；
（2）設起分量為x，
則x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）=39，
x=4，
∴長為39的6階線段的起分量為4；
（3）①15=1+2+3+4+5，
∴長為15的線段可以是5階線段，起分量分別是1，
②15=4+5+6，
∴長為15的線段可以是3階線段，起分量分別是4，
③15=7+8，
∴長為15的線段可以是2階線段，起分量分別是7，
（4）設長為2016，起分量為1的線段的階數(shù)為a，
則1+2+3+…+a=2016，
$\frac{a（a+1）}{2}$=2016，
a²+a-4032=0，
（a+64）（a-63）=0，
a₁=-64（舍）  a₂=63，
∴長為2016，起分量為1的線段的階數(shù)為63．

點評 本題是圖形的變化類規(guī)律題，雖然題意敘述比較多，但難度不大；此類題要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題；發(fā)現(xiàn)與連續(xù)整數(shù)的和有關，找出規(guī)律，依次解答．